Suma de Vectores. Método Analítico.

Para la suma de vectores, conviene dibujarlo en un plano cartesiano como el de la figura:

Recuerda que los grados siempre se miden respecto al eje x a menos que te indiquen lo contrario. Si medimos respecto a x positiva (este) o x negativa (oeste), va a depender del sentido. Observa los ejemplos para que te quede claro.

Te hacemos un par de observaciones para los últimos dos ejemplos. Cuando te mencionan que un objeto está en el Sureste, Suroeste, Noroeste o Noreste y no dan un ángulo, debes tomar el de 45. Cuando te dicen que algo cae y no mencionan que se desliza por un plano inclinado, entonces por lógica el eje que manejamos sería el Sur, al igual que si te dicen que se lanza hacia arriba sería el eje Norte.

Cuando tenemos varios vectores y deseamos sumarlos para encontrar el vector resultante, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Separar cada vector en su componente horizontal (x) y su componente vertical (y). Para obtener el componente horizontal debemos multiplicar la magnitud del vector por el coseno del ángulo, ten en cuenta que si se encuentra del lado izquierdo del plano cartesiano (cuadrantes 2 y 3) va a ser negativo. Para obtener el componente vertical debemos multiplicar la magnitud del vector por el seno del ángulo, ten en cuenta que si se encuentra en la parte de abajo del plano cartesiano (cuadrantes 3 y 4) será negativo.

Por ejemplo, para un vector de 35N al Sureste

• La componente horizontal es: 35 cos(45)
• La componente vertical es: -35 sen(45). Esta componente es negativa porque se encuentra en el 4to cuadrante

Veamos otro ejemplo: 60N,  al Noroeste, 

• La componente horizontal es -60 cos(30), la razón de que pongamos un signo negativo es porque se encuentra en el lado negativo de las x, (2do cuadrante). 
• La componente vertical es 60 sen(30)

2.Una vez que se tiene separado cada vector, tomamos todos los componentes horizontales (x) y los sumamos.

3.Tomamos todos los componentes verticales (y) y los sumamos

4. Una vez que tienes la sumatoria total de los componentes, usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la resultante

Ejemplo
1. Hay cuatro personas jalando una caja. La persona uno, aplica 70N con una inclinación de  hacia la derecha. La persona dos, usa una fuerza de 80N a la derecha, la persona tres, aplica 90N con  hacia la izquierda y por último la persona 4 logra 60N inclinándose al Suroeste. Determina hacia donde se mueve la caja, es decir, la magnitud y dirección del vector resultante.

Solución:

Primero colocamos cada vector en un plano cartesiano.

2. Separemos cada vector en su componente horizontal y vertical y realizamos las sumatorias

     Horizontal                                                                                Vertical

F1: 70 cos(25)= 70 X 0.906 = 63.441                F1: 70 sen(25)= 70 X 0.423 = 29.583
F2: 80                                   = 80                       F2: Sin componente vertical = 0
F3: -90 cos(35)= -90 X 0.819 = -73.724             F3: 90 sen(35) = 90 X 0.574 = 51.622
F4: -60 cos(60)= -60 X 0.5 = -30                        F4: -60 sen(60) = -60 X 0.866 = -51.961
                       Sumatoria X= 39.717                                              Sumatoria Y = 29.244


3. Calculamos la resultante usando el teorema de Pitágoras

Resultado: El vector resultante es 49.322N con dirección  hacia el  Noreste.

MUCHO OJO: Para saber el sentido del vector resultante debemos fijarnos en los signos de las sumatorias finales de las componentes. En nuestro ejemplo ambos resultados fueron positivos, por lo cual nos ubicamos en el primer cuadrante que corresponde al Noreste.
Supongamos que la sumatoria de "x" nos resultó negativa y la de "y" positiva. Entonces la resultante se ubicaría en el segundo cuadrante, Noroeste. 
Cuando la sumatoria de "x" es negativa y la sumatoria de "y" también es negativa, la resultante se ubica en el tercer cuadrante, Suroeste.
Si la sumatoria de "x" es positiva y la de "y" es negativa, la resultante se ubica en el cuarto cuadrante, Sureste.

Si tienes alguna duda o necesitas apoyo en algún tema déjanos un comentario.

Escalares y Vectores. Distancia y desplazamiento

Escalares

Un escalar es una magnitud (un número) con su unidad. Por ejemplo la distancia 10 m, el área , volumen , la rapidez , el potencial 18V, etc.

Cuando trabajamos con escalares las operaciones se realizan normalmente, lo único en lo que debemos tener cuidado es que todo se encuentre en el mismo sistema de unidades, es decir, si vas a sumar distancias no puedes hacerlo si un dato está en metros, otro en pies, otro en kilómetros, etc., debes elegir una unidad (normalmente se utilizan las del SI) y convertir todos los datos a ese sistema. (Aquí puedes apoyarte para recordar los pasos http://fisicaaprendiendofacil.blogspot.mx/2017/05/sistemas-de-unidades.html) 

Vectores

Un vector es una magnitud (número) con su unidad que además tiene dirección y sentido. Por ejemplo el desplazamiento, una persona camina 15m al Oeste, la velocidad de un autobús que viaja a 80km/h hacia Chihuahua, la fuerza que se emplea para levantar un objeto de 12 N, etc. 

Un vector puede ser representado con una letra en negrita, a, v, etc. o también poniendo una flecha sobre la letra , etc. Gráficamente se representa con flecha cuyos elementos representan:

• Longitud de la flecha, la magnitud del vector. 
• Hacía donde apunta la flecha el sentido del vector.
• El ángulo respecto a la horizontal la dirección del vector.

Distancia y rapidez. Desplazamiento y velocidad.

La distancia es un escalar y mide el recorrido total que hicimos al movernos de un punto a otro, es decir toda la trayectoria. El desplazamiento es un vector que únicamente considera el segmento recto que va desde el punto inicial hasta el punto final del recorrido.

Supongamos que una persona sale de su casa, camina 10m hacia el parque, da 5 vueltas que en total son 100 m y regresa a su casa. La distancia que recorrió fue : 10m + 100m + 10m= 120 m. Sin embargo, el desplazamiento fue cero, pues el punto de inicio y el punto final del recorrido son el mismo.

Recordemos que un cuerpo tiene movimiento cuando cambia su posición conforme pasa el tiempo. Si queremos calcular la rapidez de dicho movimiento debemos usar la formula: 

  Las unidades en SI son metros (m) 

Ya que la distancia y el tiempo son escalares, la rapidez también lo será. Ahora si queremos calcular la velocidad debemos usar la formula:

 Las unidades en SI son metros (m)

Ya que el desplazamiento es un vector que se divide entre el tiempo que es un escalar, el resultado, es decir la velocidad, es un vector.

Ejemplo:

1. Un niño realiza un recorrido en bicicleta como muestra el mapa. Determina la magnitud del desplazamiento total y la distancia recorrida.

2. Dos personas A y B inician un recorrido partiendo del mismo lugar. Ambas tardan 140s en llegar al destino que acordaron pero tomaron diferentes caminos. Determina para cada persona las magnitudes:

a) La distancia recorrida 

b) La rapidez

c) El desplazamiento

d) La velocidad

Ten en cuenta que en los dos ejemplos se te pide que calcules únicamente las magnitudes, no nos proporcionan información suficiente para obtener dirección o sentido.

Te dejamos ejemplos de escalares y vectores que esperamos te sean de ayuda.

Escalares: masa, tiempo, longitud, densidad, potencial eléctrico, área, volumen, temperatura, rapidez.

Vectores: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, peso, campo eléctrico, campo magnético.

Operaciones básicas. Notación científica.

Multiplicación

Cuando tienes que multiplicar cantidades expresadas de la forma  , , sigue los siguientes pasos respetando siempre la ley de los signos:

• Multiplica todos los coeficientes, es decir a, b o c
• Sigue la ley de los exponentes que nos indica que para la misma base, en las multiplicaciones los exponentes se suman, como en nuestro caso la base para todos es 10, podemos sumar n, m o k
• Expresar de la forma  o si lo deseas puedes expresarlo en notación decimal.

Ejemplos:

1. 

• Los coeficientes son 8 y 2, multiplicados nos dan 8 X 2 = 16
• Como los dos tienen la misma base (10), podemos sumar sus exponentes, los cuales son 3 y 5 lo que nos da 3 + 5 = 8
• Expresamos de la forma  para obtener la respuesta

    o en forma decimal la respuesta sería 1,600,000,000

2. 

• Los coeficientes son -4 y 2, multiplicados nos dan -4 X 2 = -8
• Como los dos tienen la misma base (10), podemos sumar sus exponentes, los cuales son 6 y -8 lo que nos da 6 + (-8) = -2
• Expresamos de la forma  para obtener la respuesta

  o en forma decimal la respuesta sería -0.08

3.   

• Los coeficientes son 2, 5 y -7, multiplicados nos dan 2 X 5 X -7 = -70
• Como los tres tienen la misma base (10), podemos sumar sus exponentes, los cuales son -3, 9 y 11 lo que nos da (-3) + 9 + 11 = 17
• Expresamos de la forma  para obtener la respuesta

  

En éste caso decidimos no expresarlo en notación decimal pues es un número muy grande

División

Cuando tienes que dividir cantidades expresadas de la forma  /  sigue los siguientes pasos respetando siempre la ley de los signos:

• Divide el coeficiente del numerador (el de arriba) entre el coeficiente del denominador (el de abajo), es decir  a/b
• Sigue la ley de los exponentes que nos indica que para la misma base, en las divisiones los exponentes se restan, como en nuestro caso la base para todos es 10, podemos restarlos. El orden es numerador  menos denominador, es decir n - m
• Expresar de la forma  o si lo deseas puedes expresarlo en notación decimal.

Ejemplos:

1. 

• Los coeficientes son 6 y 2, al dividirlos obtenemos 6/2 = 3 
• La base para todos es 10, por lo que podemos restar nuestros exponentes, 12 y 8, lo que nos da 12 - 8 = 4
• Expresar de la forma  

 o en notación decimal 30,000

2. 

• Los coeficientes son -20 y 5, al dividirlos obtenemos -20/5 = -4 
• La base para todos es 10, por lo que podemos restar nuestros exponentes, -5 y 7, lo que nos da (-5) - 7 = -12
• Expresar de la forma  

3. 

• Los coeficientes son 4 y 8, al dividirlos obtenemos 4/8 = 0.5
• La base para todos es 10, por lo que podemos restar nuestros exponentes, 2 y 7-6 , lo que nos da 2 - (-6) = 8
• Expresar de la forma  

 

Pero aún no hemos terminado, nuestro coeficiente no puede ser menor de uno (recuerda las indicaciones http://fisicaaprendiendofacil.blogspot.mx/2017/05/notacion-cientifica.html ), por lo que recorremos el punto un espacio a la derecha, lo que le resta un cero a nuestra potencia quedando

Suma y resta

Cuando tienes que sumar o restar cantidades expresadas de la forma  , , sigue los siguientes pasos respetando siempre la ley de los signos:

• La base debe ser la misma, en nuestro caso 10
• Las potencias también deben ser iguales, es decir que n, m, k deben tener el mismo valor
• Suma o resta todos los coeficientes, es decir a, b, c
• La base y la potencia se quedan sin cambios, expresa el resultado de la forma 

Ejemplos:

1. 

• La base es la misma en todas las cantidades, 10
• Las potencias son iguales, es decir 6
• Los coeficientes son 13 y 8, al sumarlos nos da 13 + 8 = 21
• La base y la potencia se quedan sin cambios, expresar el resultado de la forma 

Aún no hemos terminado, el coeficiente debe ser menor de 10  (recuerda las indicaciones http://fisicaaprendiendofacil.blogspot.mx/2017/05/notacion-cientifica.html), así que imaginamos un punto al final del 21 y lo recorremos a la izquierda un espacio, lo que hace que sumemos un cero a nuestra potencia quedando

2. 

• La base es la misma en todas las cantidades, 10
• Las potencias no son iguales, así que las ajustamos, nosotros hemos elegido dejar todo en base 5

,   ,  

• Los coeficientes son 2100, 2800 y 33 siguiendo las operaciones indicadas obtenemos 2100-2800+33 = -667
• La base y la potencia se quedan sin cambios, expresar el resultado de la forma 

Aún no hemos terminado, el coeficiente debe ser menor de 10  (recuerda las indicaciones http://fisicaaprendiendofacil.blogspot.mx/2017/05/notacion-cientifica.html), así que imaginamos un punto al final del -667 y lo recorremos a la izquierda dos espacios, lo que hace que sumemos dos ceros a nuestra potencia quedando

No dudes en escribirnos si algo no te quedó claro.